РЕФЕРАТЫ ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
Реферат: Кольцевой орбитальный резонанс
Кольцевой орбитальный резонанс
Кирилл Бутусов
В 1978 г. нами была опубликована работа «Золотое сечение в Солнечной системе» [1], где было показано, что в Солнечной системе наблюдается явление резонанса волн биений, приводящее к тому, что периоды и частоты обращений планет образуют геометрическую прогрессию со знаменателями Ф = 1,6180339 и Ф = 2,6180339, хорошо отображаемые числовыми рядами: Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...) и Люка (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843...), см. табл. 1, где n – числа Люка и Фибоначчи, а δ% – отклонение от резонансного значения nT в %.
Таблица 1
|
Тело |
Т, лет |
n |
nT, лет |
δ% |
|
Ме |
0,24085 |
377 |
90,800 |
1,98 |
|
В |
0,61521 |
144 |
88,590 |
0,50 |
|
З |
1,00000 |
89 |
89,000 |
0,03 |
|
Ма |
1,88089 |
47 |
88,401 |
0,71 |
|
С |
29,4577 |
3 |
88,373 |
0,74 |
|
|
|
|
89,033 |
0,79 |
|
Ц |
4,605 |
18 |
82,893 |
0,10 |
|
Ю |
11,862 |
7 |
83,035 |
0,06 |
|
У |
84,015 |
1 |
84,015 |
1,24 |
|
Н |
164,78 |
1/2 |
82,394 |
0,71 |
|
П |
247,69 |
1/3 |
82,565 |
0,50 |
|
|
|
|
82,980 |
0,52 |
Однако, кроме описанных в статье случаев проявления «золотого сечения» в Солнечной системе, нам удалось выявить ещё ряд новых интересных примеров такого же рода. В частности, мы обнаружили, что величины, обратные эксцентриситетам планетных орбит также близки к числам Люка и Фибоначчи (см. табл. 2, где e – эксцентриситет орбиты, а n – число Люка или Фибоначчи).
Таблица 2
|
Тело |
1/e |
n |
1/ne |
δ% |
|
П |
4,021 |
4 |
1,0054 |
0,44 |
|
Ме |
4,863 |
5 |
0,9726 |
2,91 |
|
Ма |
10,711 |
11 |
0,9737 |
2,80 |
|
Ц |
13,157 |
13 |
1,0121 |
1,10 |
|
С |
17,946 |
18 |
0,9970 |
0,40 |
|
Ю |
20,652 |
21 |
0,9834 |
1,79 |
|
У |
21,195 |
21 |
1,0093 |
0,82 |
|
З |
59,772 |
55 |
1,0867 |
8,56 |
|
Н |
116,686 |
123 |
0,9486 |
5,52 |
|
В |
147,058 |
144 |
1,0212 |
2,01 |
|
|
|
|
1,0010 |
2,63 |
Так как орбиты планет эллиптичны и постепенно прецессируют, то каждая из них занимает кольцевую область между двумя круговыми орбитами с радиусами:
|
rπ = (1 – e)a |
(1) |
|
rα = (1 + e)a |
(2) |
где rπ – радиус орбиты в перигелии,
rα – радиус орбиты в афелии,
a – большая полуось орбиты.
Этим круговым орбитам соответствуют свои периоды, а интервал периодов может быть найден по следующей формуле:
|
(3) |
где T – период обращения планеты, а ΔT – будет шириной орбиты, выраженной в терминах периодов. Назовем эту величину «периодом ширины орбиты». При этом оказалось, что «период ширины орбиты» связан с перодом обращения планеты, расположенной через одну орбиту ближе к Солнцу, следующим соотношением:
|
kΔTn = Tn–2 , |
(4) |
где k – целое число, чаще всего, близкое к единице, т.е. имеет место своеобразный резонанс, названный нами «кольцевым резонансом» (см. табл. 3).
Таблица 3а
|
Тело |
ΔT, лет |
k |
kΔTn, лет |
|
В |
0,0125 |
5 |
0,0627 |
|
З |
0,0501 |
5 |
0,2509 |
|
М |
0,5266 |
1 |
0,5266 |
|
Ц |
1,0497 |
1 |
1,0497 |
|
Ю |
1,7228 |
1 |
1,7228 |
|
С |
4,9235 |
1 |
4,9235 |
|
У |
11,890 |
1 |
11,890 |
|
Н |
4,237 |
7 |
29,659 |
|
П |
184,28 |
0,5 |
92,140 |
Таблица 3b
|
Teло |
T, лет |
kΔTn / kΔTn–2 |
δ% |
k |
kΔTn / kΔTn–2 |
δ% |
|
Сл |
0,0694 |
0,903 |
10,0 |
11/2 |
0,993 |
0,61 |
|
Ме |
0,2408 |
1,041 |
4,8 |
24/5 |
1,000 |
0,07 |
|
В |
0,6152 |
0,855 |
16,0 |
7/6 |
0,998 |
0,08 |
|
З |
1,0000 |
1,049 |
5,6 |
20/21 |
0,999 |
0,02 |
|
Ма |
1,8808 |
0,915 |
8,4 |
12/11 |
0,999 |
0,02 |
|
Ц |
4,6052 |
1,069 |
7,6 |
14/15 |
0,997 |
0,16 |
|
Ю |
11,862 |
1,002 |
0,8 |
1/1 |
1,002 |
0,28 |
|
Ст |
29,457 |
1,006 |
1,3 |
7/1 |
1,006 |
0,73 |
|
У |
84,015 |
1,096 |
10,3 |
5/11 |
0,997 |
0,24 |
|
|
|
0,993 |
7,2 |
|
0,999 |
0,24 |
Как видно из таблицы, при грубой подборке коэфициента k он чаще всего принимает значение 1 и даёт отклонение от резонансности, равное 7,2%, а при более тонкой подборке коэфициента, когда он не целочислен, но равен отношению небольших чисел, это отклонение имеет величину только 0,24%. Учитывая, что на самом деле мгновенный период обращения планеты меняется в широких пределах, можно считать, что резонанс всегда соблюдается даже при грубой подборке k. Как оказалось, экваториальный период вращения Солнца и все «периоды ширины орбит» планет земной группы имеют между собою общий резонанс. Для планет, внешних по отношению к Земной орбите также имеет место общий для них резонанс. Причём средние отклонения от резонансности для обеих групп планет не превышают 0,55%. Период общего резонанса для внешних планет превосходит аналогичный период для земной группы планет в 28 раз (см. табл. 4).
Таблица 4
|
Тело |
ΔT |
n |
ΔT / n |
δ% |
|
В |
0,0125 |
2 |
0,00627 |
0,19 |
|
З |
0,0501 |
8 |
0,00627 |
0.16 |
|
Сл |
0,0694 |
11 |
0,00631 |
0,86 |
|
Ме |
0,1483 |
24 |
0,00618 |
1,35 |
|
Ма |
0,5266 |
84 |
0,00627 |
0,10 |
|
|
|
|
0,00626 |
0,53 |
|
Ма |
0,5266 |
3 |
0,17553 |
0,30 |
|
Ц |
1,0497 |
6 |
0,17495 |
0,02 |
|
Ю |
1,7228 |
10 |
0,17228 |
1,58 |
|
Н |
4,2370 |
24 |
0,17654 |
0,88 |
|
Ст |
4,9235 |
28 |
0,17584 |
0,48 |
|
У |
11,890 |
68 |
0,17485 |
0,08 |
|
|
|
|
0,17500 |
0,55 |
Если рассмотреть ширину орбиты в терминах частот обращений планет, то мы получим «частоту ширины орбиты». Как выяснилось, эти величины, нормированные на «частоту ширины орбиты» Нептуна, образуют числовые ряды, близкие к числам Люка и Фибоначчи (см. табл. 5) со средним отклонением от резонансности меньше 3%.
Таблица 5
|
Тело |
Δν, год–1 |
Δν / ΔνН |
n |
Δν / nΔνН |
δ% |
|
Н |
0,000156 |
1,0000 |
1 |
1,0000 |
1,62 |
|
У |
0,001690 |
10,8346 |
11 |
0,98496 |
3,17 |
|
П |
0,003305 |
21,1871 |
21 |
1,00890 |
0,72 |
|
С |
0,057000 |
36,5384 |
34 |
1,07465 |
5,75 |
|
Ю |
0,012286 |
78,7564 |
76 |
1,03626 |
1,97 |
|
В |
0,033516 |
212,564 |
199 |
1,06816 |
5,11 |
|
З |
0,050200 |
321,794 |
322 |
0,99936 |
1,68 |
|
Ц |
0,049938 |
320,051 |
322 |
0,99394 |
2,23 |
|
Ма |
0,150818 |
966,782 |
987 |
0,97951 |
3,69 |
|
|
|
|
|
1,01619 |
2,88 |
Мы рассматривали до сих пор интервалы периодов и частот, определяемых через радиусы круговых орбит, ограничивающих эллипсы орбит. Однако, интересно рассмотреть разности мгновенных периодов обращения планет в афелиях и перигелиях орбит т.е. интервал, в пределах которого меняется мгновенный период при движении планеты по орбите. Назовём этот интервал «девиацией периода» Расчёт её будем вести по формуле:
|
(5) |
При этом оказалось, что наблюдается резонанс между «девиацией периода» планеты и периодом соседней планеты, расположенной ближе к Солнцу:
|
kΔT *n = T *n–1 |
(6) |
См. табл. 6, где значки π, 0, α – определяют значения мгновенных периодов в перигелии, на среднем расстоянии и в афелии. Мы видим, что чаще всего наблюдается k = 2. Среднее отклонение от резонанса равно 1,75%.
Таблица 6
|
Тело |
ΔTn* |
k |
k ΔTn* |
Тело |
T*n–1 |
kΔT*n / ΔT*n–1 |
δ% |
|
Ме |
0,2024 |
1/3 |
0,0674 |
Сле |
0,0694 |
0,97099 |
2,58 |
|
В |
0,0167 |
9 |
0,1505 |
Меπ |
0,1553 |
0,96968 |
2,72 |
|
З |
0,0669 |
9 |
0,6023 |
Вπ |
0,6068 |
0,99253 |
0,35 |
|
Ма |
0,5442 |
2 |
1,0884 |
Зα |
1,0338 |
1,05279 |
5,69 |
|
Ц |
1,4040 |
4/3 |
1,8720 |
Ма0 |
1,8808 |
0,99528 |
0,08 |
|
Ю |
2,3000 |
2 |
4,6000 |
Ц0 |
4,6052 |
0,99888 |
0,28 |
|
Ст |
6,5757 |
2 |
13,1514 |
Юα |
13,0539 |
1,00746 |
1,14 |
|
У |
15,8730 |
2 |
31,7460 |
Сα |
32,8829 |
0,96542 |
3,17 |
|
Н |
5,6494 |
15 |
84,7412 |
У0 |
84,0152 |
1,00864 |
1,26 |
|
П |
254,336 |
7/11 |
161,850 |
Нπ |
161,981 |
0,99919 |
0,31 |
|
|
|
|
|
|
|
0,99608 |
1,75 |
На самом деле, учитывая, что изменение мгновенного периода происходит в широких пределах, мы можем считать, что резонанс всегда соблюдается гораздо точнее.
Наконец, рассмотрим соотношения экстремальных значений мгновенных периодов на соседних орбитах в ближайших апсидах. Например, отношение мгновенного периода в афелии орбиты к такому же периоду, но уже в перигелии последующей орбиты, расположенной дальше от Солнца (см. табл. 7, где T1* – мгновенный период в афелии орбиты, а T2* – мгновенный период в перигелии последующей). Исключение составляют только Меркурий,где вместо перигелийных и афелийных периодов взяты средние периоды и Венера, где вместо афелийного периода взят средний период. Резонансный коэфициент равен отношению небольших чисел, на 85% состоящих из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).
Анализ таблицы показывает, что эти соотношения близки к резонансным со средним отклонением от резонансности 0,53%.
Таблица 7
|
Тело |
T2* |
Тело |
T1* |
k |
kT1* |
T2* / kT1* |
δ% |
|
Ме0 |
0,2408 |
Сле |
0,0694 |
7/2 |
0,2432 |
0,990304 |
1,03 |
|
Вπ |
0,6068 |
Ме0 |
0,2408 |
5/2 |
0,6021 |
1,007897 |
0,73 |
|
Зπ |
0,9669 |
В0 |
0,6152 |
11/7 |
0,9667 |
1,000202 |
0,03 |
|
Маπ |
1,6162 |
Зα |
1,0338 |
11/7 |
1,6246 |
0,994791 |
0,57 |
|
Цπ |
3,9432 |
Маα |
2,1604 |
11/6 |
3,9608 |
0,995554 |
0,50 |
|
Юπ |
10,7539 |
Цα |
5,3472 |
2/1 |
10,6944 |
1,005564 |
0,50 |
|
Стπ |
26,3072 |
Юα |
13,0539 |
2/1 |
26,1079 |
1,007633 |
0,70 |
|
Уπ |
76,3596 |
Стα |
32,8829 |
7/3 |
76,7268 |
0,995213 |
0,53 |
|
Нπ |
161,981 |
Уα |
92,2326 |
7/4 |
161,407 |
1,003557 |
0,30 |
|
Пπ |
144,369 |
Нα |
167,630 |
6/7 |
143,683 |
1,004770 |
0,42 |
|
|
|
|
|
|
|
1,000548 |
0,53 |
Выводы
Величины, обратные эксцентриситетам орбит планет образуют числа, близкие к числам Люка и Фибоначчи.
Периоды ширины орбитальных колец находятся в резонансе с периодами планет, расположенными через одну орбиту ближе к Солнцу.
Частоты ширины орбитальных колец находятся в резонансе с частотами обращения планет, расположенных дальше от Солнца через одну орбиту.
Периоды ширины орбитальных колец как земной группы планет, так и планет, внешних по отношению к земной орбите, образуют две группы тел с общими резонансами внутри группы.
Частоты ширины орбитальных колец, нормированные на частоту ширины орбиты Нептуна, образуют числовой ряд близкий к числам Люка и Фибоначчи.
Девиации периодов обращений планет находятся в резонансе с периодом обращения соседней планеты, расположенной ближе к Солнцу.
Экстремальные периоды в ближайших апсидах соседних планет находятся в резонансе, а числовые коэфициенты резонансов на 85% состоят из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).
Имеют место ещё и другие резонансные соотношения для частот ширины орбит, девиаций частоты и экстремальных значений частот планетных орбит, но ввиду ограниченности объёма работы мы этих результатов вычислений не приводим.
Список литературы
К.П. Бутусов. «Золотое сечение в Солнечной системе». Проблемы исследования Вселенной, вып. 7. М.-Л., 1978.
